Simultaneous pp-orderings and minimising volumes in number fields

In the paper "On the interpolation of integer-valued polynomials" (Journal of Number Theory 133 (2013), pp. 4224--4232.) V. Volkov and F. Petrov consider the problem of existence of the so-called $n$-universal sets (related to simultaneous $p$-orderings of Bhargava) in the ring of Gaussian integers. We extend their results to arbitrary imaginary quadratic number fields and prove an existence theorem that provides a strong counterexample to a conjecture of Volkov-Petrov on minimal cardinality of $n$-universal sets. Along the way, we discover a link with Euler-Kronecker constants and prove a lower bound on Euler-Kronecker constants which is of the same order of magnitude as the one obtained by Ihara.Comment: new version, substantial corrections in section 6, will appear in Journal of Number Theor

Counting bounded elements of a number field

We estimate, in a number field, the number of elements and the maximal number of linearly independent elements, with prescribed bounds on their valuations. As a by-product, we obtain new bounds for the successive minima of ideal lattices. Our arguments combine group theory, ramification theory, and the geometry of numbers.Comment: 11 pages, LaTeX2e; v2: updated Corollary 3 and added Corollary 4; v3: revised version incorporating suggestions by the referees (the main changes are in the title and in the Introduction, e.g. Corollary 1 and the paragraph below Theorem 4 are new

Convergence de Benjamini-Schramm des espaces localement symétriques

The main theme of this work is the study of geometry and topology of locally symmetric spaces Γ\X as ther volume Vol(Γ\X) tends to infinity. Our first main result concerns the Benjamini-Schramm convergence for arithmetic hyperbolic 2 or 3-manifolds. A sequence of locally symmetric spaces (Γₙ\X) converges Benjamini-Schramm to X if and only if for every radius R≻0 the limit Vol((Γ\X)_{≺R})/Vol(Γ\X) as n goes to infinity is 0, where (Γ\X)_{≺R} stands for the R-thin part of Γ\X. We prove that there exists a positive constant C=C_R with the following property: for every torsion free, uniform, congruence arithmetic lattice Gamma in PGL(2,ℝ) or PGL(2,ℂ) Vol ((Γ\X)_{≺R})≤C_RVol(Γ\X)⁰⋅⁹⁸⁶. There is only finitely many arithmetic lattices of covolume bounded by a constant so the result above implies the Benjamini-Schramm convergence for any sequence of congruence arithmetic hyperbolic 3-manifolds. We also prove a similar but slightly weaker inequality for non-congruence subgroups. Our results are deduced form a strong form of the limit multiplicity property that holds for arithmetic lattices in PGL(2,ℝ) of PGL(2,ℂ). As an application of our bounds we confirm Gelander's conjecture on the triangulations of arithmetic hyperbolic 3-manifolds: we show that every arithmetic hyperbolic 3-manifold M admits a triangulation with O(Vol(M)) simplices and degrees of vertices bounded uniformly by an absolute constant. Next, we move to the setting of higher rank locally symmetric spaces. Let Mₙ=Γₙ\X be a sequence of pairwise distinct locally symmetric spaces modeled after a higher rank symmetric space X. We show that the dimension of the first homology group with coefficients in F₂ is sublinear in volume. This can be compared with the results of Calegari and Emerton on mod-p homology growth in p-adic analytic towers of 3-manifolds as well as the results of Abert, Gelander and Nikolov on the rank gradient of right-angled lattices in higher rank Lie groups.The main strength of our theorem is that we do not need to assume that the manifolds in question are commensurable. Our third result is independent of the first two. Kesten theorem asserts that if Gamma is group generated by a finite symmetric set S and N is a normal subgroup of Gamma then N is amenable if and only if the spectral radii of the Cayley graphs Cay(Γ, S) and the Schreier graph Sch(Γ/N,S) are equal. Building on the work of Abert, Glasner and Virag we extend Kesten's theorem to uniformly recurrent subgroups.Le sujet principal de ce mémoire est le comportement asymptotique de la géométrie et topologie des variétés localement symétriques Γ\X quand le volume tend vers l’infini. Notre premier résultat porte sur la convergence Benjamini-Schramm des 2 ou 3-variétés hyperboliques arithmétiques. Une suite d'espaces localement symétriques (Γₙ\X) converge Benjamini-Schramm vers l'espace symétrique X si pour chaque R≻0 la limite de Vol((Γ\X)_{≺R})/Vol(Γ\X). On montre qu'il existe une constante réelle C=C_R satisfaisant la propriété suivante: pour chaque réseau arithmétique de congruence Γ de PGL(2,ℝ) ou PGL(2,ℂ) sans torsion on a Vol ((Γ\X)_{≺R})≤C_RVol(Γ\X)⁰⋅⁹⁸⁶. Il n'y a qu'un nombre fini de réseaux arithmétiques de covolume borné par une constante donc ce résultat implique la convergence Benjamini-Schramm pour des variétés arithmétiques de congruence. On donne aussi une version de (\ref{AbsFr1}) un peu plus faible qui reste vraie pour des réseaux arithmétiques qui ne sont pas de congruence. Les majorations de volume de la partie R-mince sont déduites d'une version forte de la propriété de la multiplicité limite satisfaite par les réseaux arithmétiques de PGL(2,ℝ) et PGL(2,ℂ). En utilisant nos résultats on confirme la conjecture de Gelander pour des 3-variétés arithmétiques hyperboliques: pour chaque telle variété M on construit un complexe simplicial N homotope à M dont le nombre des simplexes est O(Vol(M)) et le degré des nœuds est uniformément borné par une constante absolue. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux espaces localement symétriques Γ\X où X est de rang supérieur ou égal à 2. Notre résultat principal affirme que la dimension du premier groupe d'homologie à coefficients dans F₂ (corps avec 2 éléments) est sous-linéaire en le volume. Ce résultat est à comparer avec des travaux de Calegari et Emerton sur la cohomologie mod-p dans les tours p-adiques des 3-variétés et les résultats d'Abert, Gelander et Nikolov sur le rang des sous-groupes d'un réseau de rang supérieur à angles droits. Le point fort de notre approche est qu'il n'y a pas besoin de travailler dans une seule classe de commensurabilité. La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle porte sur une extension du théorème de Kesten. Le théorème de Kesten affirme que si Gamma est un groupe engendré par un ensemble fini symétrique S, N est un sous-groupe normal de Γ alors N est moyennable si et seulement si les rayons spectraux du graphe de Cayley Cay(Γ,S) et du graphe de Scheier Sch(Γ/N,S) coïncident. En utilisant les techniques de Abert, Glasner et Virag on généralise le theorème de Kesten aux N-uniformément récurrents

Zbiory różnic w grupach ze średnią i w ogólnym przypadku

W pracy zajmujemy się następującym ogólnym problemem: Niech A,B będą "kombinatorycznie dużymi" podzbiorami pewnej przeliczalnej grupy G. Co możemy powiedzieć o strukturze zbioru AB^{-1}:={ab^{-1}|a\\in A, b\\in B}? Zanim zajmiemy się poszukiwaniem odpowiedzi należy sprecyzować co oznacza "kombinatorycznie duży" podzbiór grupy. W przypadkach które będziemy badać, używa się w tym celu górnych gęstości na grupie. Mając taką gęstość, określamy zbiory kombinatorycznie duże jako te których gęstość jest dodatnia. W przypadku grupy liczb całkowitych z dodawaniem, określamy górną gęstość Banacha zbioru S , jako supremum po jego miarach \\mu(S) gdzie \\mu przebiega zbiór skończenie, addytywnych miar probabilistycznych niezmienniczych na translację. Jin udowodnił (w 2002), że różnica dwóch podzbiorów liczb całkowitych o dodatniej górnej gęstości Banacha musi być zbiorem kawałkami syndetycznym. Wyniki Jina dla Z zostały uogólnione przez Bergelsona, Beigelbocka i Fisha na przypadek wszystkich grup ze średnią. Grupa ze średnią to taka na której istnieje skończenie addytywna miara probabilistyczna która jest niezmniennicza na translacje. Bjoerklund i Fish udowodnili, że analogiczne wyniki zachodzą w dowolnej grupie gdy zastąpimy górną gęstość Banacha przez suprema po pewnych rodzinach miar stacjonarnych. W pracy magisterskiej opisujemy wyżej wymienione rezultaty i podajemy nowe dowody, oparte na metodzie "przesunięcia o ultrafiltr" opracowanej przez Beigelbocka. Wprowadzamy również pojęcie miar minimalnych i używamy go do uogólnienia definicji górnej gęstości Banacha na dowolne grupy przeliczalne. Zajmujemy się przecięciami zbiorów różnic i rozszerzamy związane z tym tematem wyniki di Nasso i Lupini'egoIn this thesis we try to answer the following general question:Let A,B be "combinatorially large" subsets of a countable group G. What can we say about the structure of the set AB^{-1}:={ab^{-1}|a\in A, b\in B}?The first problem we have to deal with, is to define precisely the notion of "combinatorial largeness" in a group. It is usually done by defining an upper density on the group G and specifying the "combinatorially large" sets as those with positive upper density. In case where G is the group of integers we define the upper Banach density as the supremum over all finitely additive probability measures which are invariant with respect to translation (i.e \mu(S)=\mu(gS) for every subset S and element g). Jin (2002) proved that the difference set of two sets with positive upper density is piecewise syndetic, which is a strong structural property. Results of Jin were extended to the setting of more general "amenable groups" by Bergelson, Beigelbock and Fish. Amenable groups are those groups which posses a translation-invariant finitely additive probability measure. These results were later extended by Bjoerklund and Fish to arbitrary groups where they defined upper densities as the suprema over certain families of stationary measures. In this master thesis we survey those results and provide new proofs, relying on the "translation by ultrafilter" technique developed by Beigelbock. We introduce the minimal measures and use them to generalize the notion of upper Banach density to the general groups. We also study the intersections of difference sets and generalize the results of di Nasso and Lupini on that matter